在Day 20的学习之中，花了很大很大的篇幅描写了我们遇见RC一阶电路的心路历程。所有的内容和步骤都是通过最朴实的KCL、KVL以及一些高等数学知识去推导的，可以发现尽管最后虽然能够大致地推导出电路输出 V_{out}(t) 和 V_{in}(t) 之间的关系，能够通过“描点法”大致推导出 \frac{V_{out}}{V_{in}} 和频率 w 之间的关系（也就是频率响应曲线）。

但这种方法实在是太繁琐了、太不直观了，遇到复杂的电路，显然是行不通的。

所以，用一种更“高级”的想法、更“高级”的工具去解决电路分析是一件势在必得的事情。

以下的内容整理汇总于多位网络上大佬的分享和教学，本篇仅是站在前人的肩膀上做一些汇总的工作，具体的链接将在文章最后放出。并且自己也仅仅是一名初学者，有表述不当、理解不当的地方劳烦大家不吝赐教！

之前看过一个很有意思的表述，就是对于模拟电路分析来说，时域和频域就像是一枚硬币的两面，是息息相关、相辅相成的。而上一篇文章中所出现的所有信号都是基于时间 t 的函数（也就是时域分析），而想要把这枚硬币翻一个面，来到频域，就需要傅立叶变换和拉普拉斯变换这两大工具。

而在这里之所以称之为“工具”，因为笔者觉得在模拟电路的学习中，自然要专注于电路分析本身，而不是傅立叶变换和拉普拉斯变换（尽管他们真的很强很有趣），故后面的相关内容会有适当的取舍，最终服务于模拟电路本身。

简单来说，傅立叶这个人（Fourier）提出了两个很牛的结论：

周期函数都可以表示为成谐波关系的正弦函数的加权和；非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示。

如果说前面那句话尚可以想象，那后面那句话没有一点数学素养的人可能都不会选择相信！而这个结论正是傅立叶变换的真谛，用数学表达式写出来便是：

F(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt\\浏览一下这个式子，就可以发现，通过这么一连串的变换计算，我们能够把时域上的函数 f(t) 变成频域上的函数 F(w) ，我们几乎就要把硬币翻过来了（式子的具体来源可以浏览文章最后的链接，本文不表）！

但是傅立叶提出的这个结论是有一个前提条件的，并非时时刻刻能够满足。因为这个前提条件的提出者叫做狄利赫里，故这个条件便被称作狄利赫里条件（Dirichlet conditions）。而其中的一个很关键的条件就是——对于进行傅立叶变换的函数 f(t) 需要绝对可积，简单来说就是不能够无限递增/递减或者增幅震荡。

这时候拉普拉斯（Laplace）就站出来了，既然不能让他无限递增/递减，不如就乘上一个东西把递增或者递减的东西“掰下来”，让其变得可积。在众多的函数中， e^{-\sigma t} 就是一个很合适的对象——他是一个指数形式，增长的幅度能够大于很多的函数，即很多的递增的函数都没有其增长的快，故能被“掰下来”（当然肯定还有那么一小部分的函数增长的不如其快），效果图如图1所示。红色的线条代表着函数 y=x^2 ，由于其不可积，在乘上了一个 e^{-0.5x} 之后，由于其自身的增长没有指数的增长来的快，所以整体函数就被“掰下来”，便满足了傅立叶变换的条件了！

因此，这个时候只要让 f(t) 乘上一个 e^{-\sigma t} ，对于绝大多数的 f(t) 肯定都能被成功积分，就这样，拉普拉斯变换应运而生了，他和傅立叶变换的关系也很简单，在表达式上，仅仅是多乘上了一个 e^{-\sigma t} （因为起到了衰减函数的作用，这里的 e^{-\sigma t} 也叫做衰减因子）：

F(w)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-(\sigma+jw)t}dt\\观察这个表达式，有几个值得注意的地方：这里积分下限变为了零，是方便大多数实际情况中的应用，即时间的积分从零开始，不考虑零之前的事情；除此之外，在原来的函数乘上了衰减因子后，由于 e 指数的特性，出现了 \sigma+jw 的式子，而有学过高中数学的我们，都知道这个式子实质上就是一个复数的一般表达式。拉普拉斯变换有意思的地方就是乘上这个衰减因子后，可以用一个复数 s 去替代掉这个式子，即 s=\sigma+jw ，这样拉普拉斯变换的表达式就能够写成：

F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\\无比的整洁美观！傅立叶变换是把时域 (t) 来到了频域 (w) ，而拉普拉斯变换则是给傅立叶变换做了延伸，将频域 (w) 做了延伸，来到了复频域 (s) ！而作为模拟电路分析的一个好工具，未来我们所有的电路分析都要最终从时域来到复频域进行（每次看到 s 域，我都会想起诺兰《盗梦空间》中的limbo迷失域，而这个域的变换过程颇有进入下一层梦境的感觉）！

而如何理解频域和复频域的关系呢？我浅浅画个图2：

可以看到，傅立叶变换下，我们得到的是最终函数 F(w) 和频率 w 的关系，是一个二维的关系图。而引入拉普拉斯变换的衰减因子后，整个复频域就变成了一个三维的关系图。从上往下看，是 jw 和 \sigma 的关系，也就是复数 s 在坐标轴上的表达；而从右往左看，就是这时候最终函数 F(s) 和频率 w 的关系。

可以说引入这个衰减因子，能够将二维的关系拓展成三维，在实际的工程问题中，这个 \sigma 和最终函数的关系也能够用来体现一个系统的稳定性（此为后话，暂且不表）。

总结一下，拉普拉斯变换让原本条件苛刻的傅立叶变换能够应用于绝大部分的函数 f(t) ，也能够完全适用于我们实际的工程问题，所以对模拟电路的分析，也就是从电路的 t 域来到s 域，是必不可少的一件事情。

既然此时此刻我们有了这件趁手的工具，也要开始对模拟电路这个目标开始操作了，接下来我将从两个方面演示这个工具在模拟电路上的使用！

在Day 20中，全文花费了很大的笔墨去解出了RC一阶电路的微分方程，求出了最后输出信号的函数。那么拉氏变换既然能把信号从时域变到频域，那是不是也有可能能够将时域上的微分方程去化简呢？

拉氏变换求解微分方程的思路便是如此——将时域上复杂的微分方程变换到频域上的普通方程，求出频域上的解之后再做一次拉普拉斯逆变换（因为我们知道拉氏变换的规则，所以这种变换是可逆的），就可以得出时域上的解了。

这里再次拿上篇文章中的一阶RC电路举例：

C_{1}\frac{V_{out}(t)'}{dt}+\frac{1}{R_{2}}V_{out}(t)-\frac{1}{R_{1}}V_{in}=0\\

当时进行到这一步的时候，我们已经穷途末路了，只能用复杂的凑积分去解决它。而现在我们只需要将式子中的每一项变换到频域即可！而具体的变换规则已经有辛勤的前人为我们整理出来了，我们只需要轻轻取用即可，无需自己亲自操操办，如图3所示～

在这里我们只需要根据拉普拉斯变换的公式进行以下一对一的变换即可（假设电容一开始的电压为零，且输入电压为直流电）。由于式子中存在着一个微分符号，所以需要用到拉普拉斯变换中的微分定理，而普通的和函数有关的项，就直接变换到频域即可，即： V_{out}(t)\Rightarrow_{拉普拉斯变换}V_{out}(s)、\frac{dV_{out}(t)}{dt}\Rightarrow_{拉普拉斯变换}sV_{out}(s)、1\Rightarrow_{拉普拉斯变换}\frac{1}{s}\\ 上面的式子经过变换之后：

C_{1}·[sV_{out}(s)]+\frac{1}{R_{1}}[V_{out}(s)]-\frac{V_{in}}{R_{1}}·[\frac{1}{s}]=0\\上面这个式子里中括号的内容都是对应的项进行拉普拉斯变换而来，而常数项就保留不变即可（。可以发现，到了复频域之中，这个式子的解就变得非常简单，我们只要稍微移项一下就可以解出： V_{out}(s)=\frac{V_{in}}{R_{1}C_{1}s^2+s}=V_{in}·\frac{\frac{1}{R_{1}C_{1}}}{s(s+\frac{1}{R_{1}C_{1}})}\\ 根据前面的思路，我们只要把这个在复频域上的表达式通过拉普拉斯逆变换变回去就好啦～我们要做的也就是查表查表，如图4所示，这里因篇幅，只摘取部分：

最后可以得到： V_{out}(t)=V_{in}(1-e^{-\frac{1}{R_{1}C_{1}}t})\\诶嘿，是不是和我们之前算得一模一样呀，而且步骤也渐变了不少！

但是感觉仍然有一些繁琐和麻烦，每次算都要查表。而且弄了这么久，不还是在时域上玩吗，所谓的“复频域”不过就是走了个过场！ 说好的直接弄出来频率和时间的关系呢？！

别着急，这些都是最终的电路分析的一道道开胃菜，我们现在需要做的只是用一根轻巧的红绳，把所有的知识点串联起来，环环相扣。

若要对一个电路系统进行拉普拉斯变换，那除了输入信号、输出信号要进行变换，电路中的所有元件也统统不能错过。不过在复频域（s域）中，有一件很幸福的事情，就是所有在时域中的电路定理（无论是欧姆定律、KVL、KCL等等）都能够使用，这为我们的分析提供了极其大的便利！而我们最常见的电路元件无非三个：电阻、电容和电感（电感目前甚至算不上是常见）。我们牛刀小试，先对他们进行变换：

1、电阻（角标为其英文缩写，并用大小写符号区别变换前后）： v_{R}(t)=R·i_{R}(t)\\进行拉氏变换之后：

V_{r}(s)=R·I_{r}(s)\\没有任何变换，在s域中，一个电阻的阻抗还是 R 。

2、电容（假设一开始不带电）： i_{C}(t)=C·\frac{dv_{C}(t)}{dt}\\ 进行拉氏变换之后： I_{C}(s)=C·sV_{C}(s)\Rightarrow \frac{V_{C}(s)}{I_{C}(s)}=\frac{1}{Cs}\\3、电感（此处不表，有兴趣的读者可以自己推导！）

在这里，我们会发现一个很有意思的事情，在复频域下，电容有了类似于电阻那样的性质（电压电流之比），并且这个比值和通过其的信号频率有关。因此，我们又顺带完成了一件非常了不起的事情——在复频域下，我们统一了电阻、电容和电感，都把她们视作了“对电流有阻挡作用”的元件，而这种阻碍的作用，便称之为他们的阻抗。

从表达式可以看出，他们的阻抗都能够由一个与频率有关的式子表示出！例如当输入电容的信号频率比较低的时候（直流电），通过 \frac{1}{Cs} 可以推出此时电容的阻抗为无限大；而当输入信号频率比较高的时候，电容的阻抗则接近于零，和我们以前学到的“电容通交流、隔直流”的口诀一模一样呢！

好啦，到这里我们的理论知识已经准备的足够充足了，在Day 20与Day 21中用了很大的篇幅为模拟电路中极点和传递函数的概念以及相关知识做足了前戏和预热，下一篇文章则就要请出这个小小专栏中的大咖——极点、传递函数，也为这个小小的专栏做一个完结。而利用这些电路分析的工具，就能够继续更好地专注于对模拟电路和Razavi课程的学习中去。

第一篇Heinrich的文章超级无敌推荐，想当年大三的时候看完这篇文章直接豁然开朗hiahiahia